Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie

Zur Terminologie.- I. Algebraische Varietäten.- 1. Affine algebraische Varietäten.- 2. Der Hilbertsche Basissatz. Zerlegung einer Varietät in irreduzible Komponenten.- 3. Der Hilbertsche Nullstellensatz.- 4. Das Spektrum eines Rings.- 5. Projektive Varietäten und homogenes Spektrum.- Literaturhinweise.- II. Dimension.- 1. Krulldimension von topologischen Räumen und Ringen.- 2. Primidealketten und ganze Ringerweiterungen.- 3. Dimension affiner Algebren und affiner algebraischer Varietäten.- 4. Dimension projektiver Varietäten.- Literaturhinweise.- III. Reguläre und rationale Funktionen auf algebraischen Varietäten. Lokalisation.- 1. Einige Eigenschaften der Zariski-Topologie.- 2. Die Garbe der regulären Funktionen auf einer algebraischen Varietät.- 3. Quotientenringe und Quotientenmoduln. Beispiele.- 4. Eigenschaften von Quotientenringen und Quotientenmoduln.- 5. Fasersumme und Faserprodukt von Moduln. Verkleben von Moduln.- Literaturhinweise.- IV. Das Lokal-Global-Prinzip in der kommutativen Algebra.- 1. Der Übergang vom Lokalen zum Globalen.- 2. Erzeugung von Moduln und Idealen.- 3. Projektive Moduln.- Literaturhinweise.- V. Über die Anzahl der Gleichungen, die zur Beschreibung einer algebraischen Varietät nötig sind.- 1. Jede Varietät im n-dimensionalen Raum ist Durchschnitt von n Hyperflächen.- 2. Ringe und Moduln endlicher Länge.- 3. Der Krullsche Hauptidealsatz. Dimension des Durchschnitts zweier Varietäten.- 4. Anwendungen des Hauptidealsatzes in noetherschen Ringen.- 5. Der graduierte Ring und der Konormalenmodul eines Ideals.- Literaturhinweise.- VI. Reguläre und singuläre Punkte algebraischer Varietäten.- 1. Reguläre Punkte algebraischer Varietäten. Reguläre lokaleRinge.- 2. Die Nullteiler eines Rings oder Moduls. Primärzerlegung.- 3. Reguläre Folge. Cohen-Macaulay-Moduln und -Ringe.- 4. Ein Zusammenhangssatz für mengentheoretische vollständige Durchschnitte im projektiven Raum.- Literaturhinweise.- VII. Projektive Auflösungen.- 1. Projektive Dimension von Moduln.- 2. Homologische Charakterisierung regulärer Ringe und lokal vollständiger Durchschnitte.- 3. Moduln der projektiven Dimension ? 1.- 4. Algebraische Kurven in A3, die lokal vollständige Durchschnitte sind, lassen sich als Durchschnitt zweier algebraischer Flächen darstellen.- Literaturhinweise.- Literatur.- A. Lehrbücher.- B. Originalarbeiten.- Liste der verwendeten Symbole.- Sachwortverzeichnis.